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Equação Simétrica, Paramétrica e Cartesina do Plano

Equação Simétrica

Sempre quando lemos em alguma prova ou em algum livro alguma questão que mencione a Equação Simétrica, estamos falando diretamente da equação da reta,  que é uma propriedade cartesiana da matemática.  Este tipo de equação é diferente as demais, por ter algumas propriedades que são diferentes das outras equações da reta que são vistas na matemática. Trata-se da equação simétrica, que é obtida ao isolarmos o parâmetro λ em cada uma das equações e igualá-las a seguir.

A maior vantagem da equação simétrica da reta em relação às outras é que ela torna o vetor diretor bastante evidente: as coordenadas de tal vetor são os denominadores de cada fração. É importante notar que essa equação é apenas uma representação da informação e não uma divisão em si. Esta equação, porém, só pode ser obtida se nenhuma das coordenadas do vetor diretor da reta for nula.

Para passar da equação paramétrica para a equação simétrica da reta, isola-se o parâmetro; Para passar da equação simétrica para a paramétrica, devemos fazer o processo inverso, ou seja, colocar o parâmetro em cada uma das igualdades e “desisolá-lo”.

equação simétrica e paramétrica

 

Equação paramétrica

Quando falamos em equação paramétrica, estamos falando da representação de uma curva como a imagem de uma função, sendo que estes conceitos sempre aparece nos estudos da matemática. Geralmente esta representação acontece através de uma regra explícita. Outro conceito muito comum de ser encontrado relativo as equações paramétricas dizem que  elas são equações que representam uma mesma reta por meio de uma incógnita em comum (parâmetro). Essa variável comum, que é chamada de parâmetro, faz a ligação entre as duas equações.

Para pensar ficar mais claro do que se trata o assunto vamos pegar um exemplo. Considerando uma reta r que está representada através das seguintes equações paramétricas: x = -6 + 2t e y = 1 – t, com parâmetro igual a t, pois é a incógnita semelhante às duas equações. Podemos representá-la na forma geral, seguindo as orientações abaixo:

Das duas equações x = -6 + 2t e y = 1 – t escolhemos uma e isolamos a incógnita semelhante (parâmetro).

y = 1 – t

y – 1 = -t

t = – y + 1

Agora substituímos na outra equação e igualamos a equação a zero para obter a sua forma geral.

x = -6 + 2t

x = – 6 + 2(- y + 1)

x = – 6 – 2y + 2

x = – 4 – 2y

x + 2y + 4 = 0

 

Equação cartesiana ( calculo vetorial )

Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular m dessa reta. Considere uma reta r não vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA, yA). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.

Existe uma equação geral da reta, que é a seguinte: ax+by+c-0, sendo que a, b e c sempre serão representantes de números reais, e a e b são simultaneamente nulos. É possível encontrar a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r: A(xa,ya) e B ( xb,ya)

Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:

Ax+by+c=0 – by = ax – c

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